Трапеція: 2016

Трапеція

Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AD та CB).

Виділяють три спеціальні класи трапецій:

· Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.

· Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.

· Різностороння трапеція, у якої всі сторони різні.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

Основні види трапецій

Трапецію називають прямокутною, якщо у неї два суміжних кути дорівнюють 90°.

Гострою називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).

Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симетрію.

Тупою називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).

Трапеція з двома парами паралельних сторін називається паралелограмом. Паралелограм має дві осьові симметрії.

У широкому сенсі, всі паралелограми (включаючи ромби, прямокутники і квадрати) є трапеції. Прямокутники мають дзеркальну симетрію по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.

Дотичною називається трапеція, в яку має вписане коло.

Властивості

Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

· Сума двох суміжних кутів дорівнює 180 градусів.

· Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).

· Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

· В трапецію можна вписати коло, якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.

· Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.

· Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.

· Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.

· Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.

· Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.

· Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.

· Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.

· Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.

· В рівнобічній трапеції кути при основі, а також діагоналі рівні.

· Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Висота трапеції

Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:

, $h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}}$

де a, b — основи трапеції, а c і d — бокові сторони. Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:

$h=c\cdot \sin \alpha =d\cdot \sin \beta$

Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:

. $h={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{a+b}}\cdot \sin \alpha ={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{a+b}}\cdot \sin \beta$

Формула висоти трапеції, виражена через площу:

$h={\frac {2S}{a+b}}={\frac {S}{m}}$ , де S — площа трапеції, m — середня лінія.

8 клас ГЕОМЕТРІЯ

(2 год., всього 70 год.)

1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика.

5-12 класи. Видав. «Перун». Київ.2005

2. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова. Геометрія: Підручник для

8 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2008.

3. Старова О.О. Геометрія. 8 клас. – Х.: Вид. група «Основа», 2009. -144 с. – (Серія «Мій конспект»)

№ з/п	Назва теми	Кількість годин	Контрольні роботи
1.	Чотирикутники	24	2 + діагностична
2.	Подібність трикутників	14	2
3.	Многокутники. Площі многокутників	10	1
4.	Розв’язування прямокутних трикутників	14	1
5.	Повторення і систематизація знань	8	1

№ уроку	Дата провед	Т Е М А У Р О К У		Кільк. годин	При-мітка
*Тема 1. Чотирикутники*				24
1.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок навчального матеріалу за курс 7 класу з теми: «Взаємне розташування прямих на площині»	1
2.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок навчального матеріалу за курс 7 класу з теми:»Трикутники», «Коло і круг»	1
3.			Діагностична контрольна робота №1 за курс 7 класу з тем: «Взаємне розташування прямих на площині», «Трикутники», «Коло і круг»	1
4.			Чотирикутник, його елементи	1
5.			Паралелограм та його властивості	1
6.			Паралелограм та його властивості	1
7.			Ознаки паралелограма	1
8.			Ознаки паралелограма	1
9.			Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості	1
10.			Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості	1
11.			Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості	1
12.			Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості	1
13.			Узагальнення і систематизація знань, вмінь та навичок з теми: «Чотирикутники»	1
14.			Контрольна робота №2. Тема. Чотирикутники	1
15.			Корекція знань, умінь, навичок	1
16.			Теорема Фалеса	1
17.			Середня лінія трикутника, її властивості	1
18.			Середня лінія трикутника, її властивості	1
19.			Трапеція. Середня лінія трапеції, її властивості	1
20.			Трапеція. Середня лінія трапеції, її властивості	1
21.			Вписані та центральні кути	1
22.			Вписані та центральні кути	1
23.			Вписані та описані чотирикутники	1
24.			Вписані та описані чотирикутники	1
25.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Трапеція. Вписані та описані многокутники»	1
26.			Контрольна робота №3 (комбінована). Тема. Трапеція. Вписані та описані многокутники	1
27.			Корекція знань, умінь та навичок з теми: «Трапеція. Вписані та описані многокутники»	1
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів Розпізнає опуклі й неопуклі чотирикутники. Описує чотирикутник і його елементи. Зображує та знаходить на малюнках чотирикутники різних видів та їх елементи. Формулює: означення і властивості вказаних у змісті чотирикутників; центральних і вписаних кутів; вписаного і описаного чотирикутників; середньої лінії трикутника і трапеції; ознаки паралелограма; вписаного і описаного чотирикутників; теорему Фалеса. Доводить властивості й ознаки паралелограма, властивості прямокутника, ромба, квадрата, суми кутів чотирикутника, середньої лінії трикутника і трапеції, вписаних та центральних кутів, вписаного та описаного чотирикутників, теорему Фалеса. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
Тема 2. Подібність трикутників				17
28.			Узагальнена теорема Фалеса.	1
29.			Подібність трикутників	1
30.			Ознаки подібності трикутників	1
31.			Ознаки подібності трикутників	1
32.			Ознаки подібності трикутників	1
33.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Подібність трикутників»	1
34.			Контрольна робота №4 (комбінована). Тема. Подібність трикутників	1
35.			Корекція знань, умінь та навичок з теми: «Подібність трикутників»	1
36.			Застосування подібності трикутників: властивість бісектриси трикутника	1
37.			Застосування подібності трикутників: середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику	1
38.			Теорема Піфагора	1
39.			Теорема Піфагора	1
40.			Перпендикуляр і похила, їх властивості	1
41.			Перпендикуляр і похила, їх властивості	1
42.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Теорема Піфагора»	1
43.			Контрольна робота № 5 (комбінована) Тема. Теорема Піфагора	1
44.			Корекція знань, умінь та навичок з теми: «Теорема Піфагора»	1
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів Розпізнає на малюнках подібні трикутники. Описує похилу. Формулює: узагальнену теорему Фалеса; означення подібних трикутників; ознаки подібності трикутників; теорему Піфагора; властивості перпендикуляра і похилої; Доводить: ознаки подібності трикутників, теореми про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику; теорему Піфагора. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
Тема 3. Многокутники				10
45.			Многокутник та його елементи	1
46.			Опуклі й неопуклі многокутники. Сума кутів опуклого многокутника	1
47.			Вписані й описані многокутники	1
48.			Поняття площі многокутника. Основні властивості площ. Площа прямокутника	1
49.			Площа паралелограма	1
50.			Площа трапеції	1
51.			Площі трикутника	1
52.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Многокутники. Площі многокутників»	1
53.			Контрольна робота № 6(комбінована). Тема. Многокутники. Площі многокутників	1
54.			Корекція знань, умінь та навичок з теми: «Многокутники. Площі многокутників»	1
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів Пояснює, що таке площа многокутника. Описує многокутник, його елементи; опуклі й неопуклі многокутники, основні властивості площ. Зображує та знаходить на малюнках многокутник і його елементи, многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола. Формулює: означення: многокутника, вписаного у коло, многокутника, описаного навколо кола; теореми: про суму кутів опуклого многокутника; про площу прямокутника, паралелограма, трикутника, трапеції. Доводить теореми про площі паралелограма, трикутника, трапеції. Знаходить площі многокутників, використовуючи вивчені властивості й формули. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
Тема 4. Розв’язування прямокутних трикутників				11
55.			Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника	1
56.			Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника	1
57.			Значення синуса, косинуса й тангенса деяких кутів	1

58.			Розв’язування прямокутних трикутників	1
59.			Розв’язування прямокутних трикутників	1
60.			Розв’язування прикладних задач	1
61.			Застосування тригонометричних функцій	1
62.			Застосування тригонометричних функцій	1
63.			Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Розв’язування прямокутних трикутників»	1
64.			Контрольна робота №7 (комбінована). Тема. Розв’язування прямокутних трикутників	1
65.			Корекція знань, умінь та навичок з теми: «Розв’язування прямокутних трикутників»	1
Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів Формулює: означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямокутного трикутника; співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника. Знаходить значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30°, 45°, 60°. Розв’язує прямокутні трикутники. Застосовує алгоритми розв’язування прямокутних трикутників до розв’язування простіших прикладних задач.
Тема 5. Повторення і систематизація навчального матеріалу				5
66.			Повторення означень, властивостей і ознак всіх видів чотирикутників	1
67.			Повторення означення подібних трикутників та ознак подібності трикутників	1
68.			Повторити поняття многокутника та його елементів, формул для обчислення площ многокутників	1
69.			Контрольна робота №8 (підсумкова). Тема. Повторення і систематизація навчального матеріалу	1
70.			Корекція знань, умінь та навичок. Підсумковий урок	1

Трапеція

середа, 14 грудня 2016 р.